?

Log in

No account? Create an account

О формализме в математике

« previous entry | next entry »
июл. 3, 2006 | 10:41 pm

В ЖЖ обсуждают статью С.П.Новикова о кризисе физико-математических наук. (via flying_bear):
http://flying-bear.livejournal.com/180089.html
http://ivanov-petrov.livejournal.com/419957.html

Захотелось прокомментировать вот этот абзац:

Формальный язык непрозрачен, он всегда является узкопрофильным, он защищает Вашу область от понимания ее соседями, от видимого всеми взаимного влияния идей. Если Вам удалось позаимствовать идеи из соседней области, Вы можете заформализовать их так, что первоисточник не будет виден. Так или иначе, почему-то имеется много математиков, заинтересованных в развитии формального языка, разделяющего даже очень близкие разделы до непонятности. В чем тут дело? Возможно, имеется много желающих быть, как говорят, «первыми в своей деревне», закрыв занавески от соседей, - хотя, вероятно, это не единственная причина того, что формальный язык стал так нравиться обширному сообществу математиков. У меня нет полного понимания природы этого процесса, его движущей силы, причины его широкого общественного успеха. Мне кажется, это - болезнь, сопровождающая одностороннюю непомерно раздутую алгебраизацию: ее нужно проводить было бы осторожно и сбалансированно, не хороня под ней суть дела, чтобы она была полезной, и это сделать нелегко.

Мне представляется, что Сергей Петрович тут несколько лукавит, подпускает конспирологии из чисто публицистических соображений. Попробую высказаться тезисно, взяв в качестве модели ту математику, которой занимаюсь:

1. Формализация (Ф.) - реальный бич математики, затрудняющий не то что проверку, но даже понимание постановки задачи и формулировки результата. Оговорюсь, затрудняющий - для физиков, прикладников, для специалистов в смежных и даже в той же области, если они принадлежат к другой школе. 
2. С другой стороны, в рамках одной школы знакомая Ф. облегчает восприятие, сравнение и проверку.
3. Если мы говорим о математике строгих доказательств (а иное - уже не вполне математика), то Ф. - справедливая плата за возможность быть честным и, одновременно, не превращать каждую статью в монографию.
4. В математике всегда приходится искать компромисс между сложностью объектов и сложностью вычислительных формул. Современная тенденция - засовывать всю сложность в объект - проистекает не только из нелюбви к сложным вычислениям, но, в большей степени, из осторожности и добросовестности, потому что ошибка в формуле трудно различима и мало информативна. Конструирование объекта, напротив, содержательно, само по себе.
5. Категорный подход - главный инструмент самоконтроля в сложных ситуациях - с неизбежностью ведет к большей Ф.
6. Математическая традиция ХХ в. приветствует изложение результата в максимально возможной степени общности. Иногда это искусственная общность (для красоты и диссертабельности), но очень часто именно там наступает окончательная ясность и понимание, что же ты, на самом деле, сделал.
7. Только на достаточно высоком уровне Ф. обнаруживаешь, что много внешне различных результатов, в сущности, - один и тот же результат.

А если простыми словами, то самые формальные результаты, как правило, можно объяснить на пальцах: предъявив модельный пример, приведя аналогию, сославшись на общий принцип, призвав на помощь интуицию или воображение и т.п. Наверное, гуманный автор должен сопроводить статью или книгу такого рода ремарками, предъявить скелет или тень на стене пещеры и объявить его живым тигром. Например, Арнольд блестяще владеет этим искусством. Но это допустимо, только если реальный тигр пойман, посажен в клетку, накормлен и т.д. И если сделано это со всем возможным формализмом.

Link | Leave a comment | Поделиться

Comments {18}

Шляпник

(no subject)

from: russhatter
date: июл. 3, 2006 08:05 pm (UTC)
Link

Что-то не нравится мне эта статья...
И сайт публикации - тоже странный - но это хрен с ним.

Reply | Thread

Шляпник

(no subject)

from: russhatter
date: июл. 3, 2006 08:06 pm (UTC)
Link

И это при том, что я тоже - ох какой не любитель алгебры...

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 3, 2006 08:17 pm (UTC)
Link

Я алгебру знаю плохо и в этом смысле - не очень люблю. И очень об этом жалею. Алгебраический формализм часто выводит из дебрей на прямую дорогу. У меня это бывало, обычно, благодаря соавторам.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 3, 2006 08:14 pm (UTC)
Link

И сайт публикации - тоже странный :)

Reply | Parent | Thread

Leonid

(no subject)

from: lee_bey
date: июл. 3, 2006 08:43 pm (UTC)
Link

ИМХО, математика --- единственная область человеческой жизнедеятельности, в которой люди нашли способ строить точные соответствия между образными системами разных людей.
Ведь в сущности, все, что происходить в головах математиков -- образы, "картинки".
Формализм -- это и есть этот способ.
Несовершенный, ясень пень, но тем не менее.
Литература тоже решает эти задачи, но соответствие между образными системами разных людей получается неточное, по определению.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 3, 2006 08:53 pm (UTC)
Link

Ах, кабы математики знали точно, что у них происходит в головах :)

Если дело доходит до картинки, значит ты на пути (правда, не обязательно верном). Проблема в том, что, чем сложнее формальный образ, тем меньшее количество "разных людей" в состоянии его воспринять. Всегда полезно, даже оставаясь в границах строгого формализма, четко осознавать, где эти границы пролегают. Иначе образ не донесешь.

Reply | Parent | Thread

Leonid

(no subject)

from: lee_bey
date: июл. 3, 2006 09:17 pm (UTC)
Link

Гы! Кабы люди знали, что у них происходит в головах, то они были бы не совсем людьми. :-)

Вся фишка в том, что если уж один математик придумал картинку, и сумел ее формализовать, и все логически строго, то у другого математика, когда он прочитает и поймет (конечно, если прочитает и если поймет --- но ведь так бывает, не правда ли? :-) ) в голове сложится своя картинка. Может она будет похожа на ту, что родилась в первой голове, а может и нет. Но если оба математика хорошо закопались в этой области, то между их картинками будет какое-то соответствие, -- непонятно какое --- но все, что в своей образной системе будет производить один математик, после "трансляции" через формализм в своей образной системе, своими картинками, почти наверняка воспроизведет другой. "Это ли не чудо?"(с)

Не могу придумать ни одной другой области человеческой деятельности, в которой такое было бы возможно. Художественный язык (литература/кино) переводится во внутренние образы проще, но какая же там неоднозначность и возможность для недопонимания...

Делать же такие формализмы, чтоб не "замусорить" картинку --- дык, оно наверное типа и есть ремесло-искусство.

Кстати, уверен, что путь математики, использующий сложность объектов а не сложность формул, наверняка связан с таким способом трансляции. Видимо, горазо проще один раз научиться "транслировать" в свои картинки объекты определенного типа, чем каждый раз транслировать новую формулу.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 3, 2006 09:36 pm (UTC)
Link

На самом деле, в практической работе редко задумываешься о трансляции (и это плохо). Главное, убедить самого себя, найти язык, на котором сам себе сможешь рассказать эту историю и сам себе сможешь поверить. А когда задумываешься о трансляции - начинаешь вставлять неформальные замечания и литературные образы. Формализм - это разговор с собой и Богом. А людям он чужд. И это нормально.

Reply | Parent | Thread

Leonid

(no subject)

from: lee_bey
date: июл. 3, 2006 09:47 pm (UTC)
Link

Ну, по максимуму, действительно чужд.. :-)
Но вот кажется при формализации все же иногда приходится задумываться о трансляции --- но может скорее даже не о других людях, а как бы с эстетической точки зрения.
Ведь иногда есть куча вариантов, как одно и то же утверждение формально записать. И тогда приходится специально прикладывать усилие, чтобы выбрать вариант, который максимально бы соответствовал картинке внутре --- чтобы формализация соответствовала "внутренней сущности вещей".
Иначе, вроде как, некрасиво. :-)

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 3, 2006 09:53 pm (UTC)
Link

Ну, так это я и называю: разговор с собой и с Богом. "Ты сам - мерило всех вещей".

И эстетика, безусловно, играет роль. Твоя собственная.

Reply | Parent | Thread

Leonid

(no subject)

from: lee_bey
date: июл. 3, 2006 10:28 pm (UTC)
Link

Ну... согласен. :-)

Reply | Parent | Thread

(no subject)

from: quieres
date: июл. 4, 2006 03:41 am (UTC)
Link

Автор явно тяготеет к непрерывной математике, которая действительно в последние десятилетия находится в некотором кризисе в отличии от дискретной математики.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 4, 2006 06:55 am (UTC)
Link

Ну, не уверен я, что это абсолютно верное суждение. Тем более, что и границу сегодня редко когда можно провести. Объект дискретен - аппарат непрерывен, и наоборот. Сплошь и рядом.

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: июл. 4, 2006 02:07 pm (UTC)
Link

По Вашему примеру, разместил комментарий у себя.:)
http://buddha239.livejournal.com/23327.html

Reply | Thread

Мунин

(no subject)

from: firtree
date: авг. 15, 2007 04:03 am (UTC)
Link

Возникает мысль, что математические работы должны бы содержать по крайней мере часть, специально ориентированную на широкую аудиторию: "для физиков, прикладников, для специалистов в смежных и даже в той же области, если они принадлежат к другой школе". И для "для физиков, прикладников" интересной может быть не только окончательная формализация результата, но и "путь наверх", поскольку результат-то, может быть, и будет объяснён на пальцах, но как он при этом будет связан с менее общными "многочисленными внешне различными результатами" - останется непрояснённым.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 15, 2007 07:52 am (UTC)
Link

Это долгий разговор, если вести его всерьез. Тезисно: 1. Каждая работа пишется с прицелом на целевую группу. Каждой целевой группе присущи свои уровень подготовленности, язык и степень его формализации, привычный набор моделей и т.п. 2. Статьи, содержащие специфический результат, пишутся, как правило, для узких специалистов в специфической подобласти. Условно говоря, если взять Mathematical Subject Classification, это даже не 58g (напрмер), а некая проблематика внутри подкласса. Читать такие работы никто кроме специалистов не будет, да им и не надо. 3. Вниманию более широкой аудитории предназначены обзорные статьи и монографии. Но и здесь выбирается целевая группа. Учебник для аспирантов-математиков, совсем не то же самое, что книга, пропагандирующая определенные математические идеи среди биологов или радиоинженеров. На самом деле, это разделение реально существует, и я знаю немало работ, имеющих целью популяризацию в научном и инженерном сообществе. Пишут их и математики, и не вполне математики.

Что до "объяснения на пальцах", то точно так же можно можно и нужно объяснять все существующие взаимосвязи. В конечном итоге, физиков и инженеров мало интересуют внутриматематические взаимоотношения и разборки. Им нужен понятный метод и результат, на который можно сослаться.

Reply | Parent | Thread

Мунин

(no subject)

from: firtree
date: авг. 15, 2007 09:22 am (UTC)
Link

Спасибо. Наверное, более чем к тезисному разговору я не готов. А как насчёт того явления, когда работа пишется для одной целевой аудитории, а потом, вопреки ожиданиям автора, оказывается востребованной для совсем другой? Или процент таких слишком мал, чтобы его учитывать?

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 15, 2007 01:18 pm (UTC)
Link

У меня нет статистики. Тем более, трудно бывает определить, что происходит на самом деле. Один физик разобрался в работах одного математика, процитировал его, остальные физики тоже стали ссылаться, даже не читая и т.п.

Reply | Parent | Thread