?

Log in

No account? Create an account

В поисках жанра - III

« previous entry | next entry »
мар. 31, 2008 | 10:31 pm

Продолжение. Начало здесь и здесь.

Границы пространства-времени

Возвращаясь собственно к космологии, Хеллер отмечает, что теоремы о сингулярности - уже далеко не последнее слово в вопросе о происхождении физической Вселенной. И рассказывает о сингулярной границе. В этих теоремах сингулярности понимаются как "концы" кривых, описывающих истории частиц или фотонов. Говоря более точно, сами "концы" недостижимы для исследования, поскольку в этих точках модель разрушается. Но здесь можно использовать стандартный прием (называемый обычно факторизацией - прим. pussbigeyess): поскольку каждый "конец" определяется всеми кривыми, которые им заканчиваются, то можно отождествить эти "концы" с соответствующими классами кривых. Поэтому, исследование "концов" можно свести к исследованию классов кривых, оставаясь внутри модели пространства-времени. Множество концов, понимаемое в этом смысле, образует сингулярную границу пространства-времени.

С этой точки зрения, теоремы о сингулярности представляют из себя теоремы о существовании сингулярной границы. Заметим, однако, что хотя граничные точки определяются изнутри, сами они не принадлежат пространству-времени, а значит, бессмысленно говорить о них, как о точках в обычном смысле. На самом деле, они могут иметь крайне сложную структуру, сильно зависящую от деталей построения границы.

Есть несколько конструкций границ пространства-времени. Одна из первых принадлежит Хокингу и Героху (R.Geroch) и называется g-границей (здесь g от geodesics, подчеркивается тот факт, что конструкция границы ограничивается рассмотрением только геодезических линий). Напомним, что в ОТО свободные частицы и фотоны движутся по геодезическим в пространстве-времени, а теоремы о сингулярности работают только с понятием связности пространства-времени относительно геодезических. Попутно следует отметить, что слово "свободные" означает "движущиеся только под воздействием гравитации в отсутствие других внешних сил", поскольку гравитация не рассматривается как внешняя сила, а наоборот, отвечает за кривизну пространства-времени в рамках модели.

Во Вселенной, однако, существуют частицы, истории которых не является геодезическими. В качестве примера можно взять ракету, движущуюся с ограниченным ускорением. Другими словами, существуют модели пространства-времени, которые являются геодезически полными, но неполными с точки зрения кривых с ограниченным ускорением. Для разумного определения сингулярности нужно, по крайней мере, включить в него и такие кривые. Такая конструкция была предложена Бернардом Шмидтом (1971) и получила название b-границы.

Что такое b-граница? Вместо пространства-времени Шмидт рассматривал более общий объект - расслоение фреймов. Представьте себе двумерную сферу, к каждой точке которой приклеена касательная плоскость. Этот объект называется касательным расслоением сферы, локально он устроен, как линейное четырехмерное пространство, а глобально линейные структуры в касательных плоскостях согласованы (я понимаю, что не-математики тут начинают нервничать, но мне кажется полезным произнести некие ритуальные заклинания: глядишь, какая-то картинка да возникнет - прим. Pussbigeyes). А теперь в каждой касательной плоскости возьмем всевозможные системы координат (представьте себе знакомые со школы перпендикулярные оси Ox и Oy со стрелочками  и покрутите их вокруг начала координат так, чтобы они оставались перпендикулярными и лежали в той же плоскости). Вот такой объект (сфера со всевозможными системами координат ее касательных плоскостей) и называют расслоением фреймов сферы.

В пространстве-времени все устроено значительно сложнее, однако, сам объект представляется крайне естественным как с математической (там он возникает постоянно вне связи с устройством Вселенной), так и с физической (что такое теория относительности, как не элегантная игра с системами отсчета?) точек зрения. Можно осмысленно говорить о кривых в пространстве расслоения фреймов, и оказывается, что понятие длины соотносится с ними корректно. Граничные точки пространства-времени теперь определяются в терминах классов кривых расслоения фреймов, которые имеют конечную длину. Соответствующая граница пространства-времени называется b-границей (b от "bundle" - "расслоение", а не от Бернард, как Вы, может быть, подумали) и принимает в расчет не толко геодезические, но и другие линии.

(От себя добавлю, что мы наблюдаем применение стандартного приема, когда вычислительные или методологические сложности снимаются путем усложнения объекта исследования, после чего вычисления становятся порою тривиальными, хотя от самого исследователя это требуют более высокого уровня абстрактного мышления и владения более сложным аппаратом - прим. Pussbigeyes).

После публикация работы Шмидта b-границы стали рассматриваться как лучшее из существующих описаний сингулярностей. Однако, вычисление их для наиболее интересных моделей пространства-времени было связано со значительными техническими сложностями. Только через несколько лет Босхардт и Джонсон смогли сказать нечто определенное относительно b-границ двух наиболее известных моделей - замкнутого мира Фридмана (мы о нем уже говорили) и решения Шварцшильда (описывающего симметричную черную дыру, знаменитая сфера Шварцшильда). И результаты их оказались полной катастрофой. Не в космологическом, а в когнитивном смысле. Оказалось, что в обоих случаях b-граница состоит из одной единственной точки. Разочарование было особенно наглядным в случае Фридмана, потому что его модель содержит две сингулярности - начало всего и конец всего. В конструкции b-границы обе они коллапсировали (опять же, не в космологическом смысле) в одну единственную точку, т.е. конец Вселенной Фридмана был в ее начале. Более того, в обеих моделях само пространство-время с топологической точки зрения сводилось к одной-единственной точке. Что-то пошло не так.

(Прежде чем закончить сегодняшнее повествование, не могу не сказать о том, как тесен на мир. И уже в который раз - не в космологическом смысле. Упомянутый выше Рассел А. Джонсон оказался моим старым знакомцем. Не уверен, что встречал его лично, но с одним из его соавторов, профессором весьма маститым, еще в конце 80-х имел длинную безнадежную дискуссию на темы научной этики. Про Джонсона могу сказать, что писал он хорошие работы по дифференциальной динамике, а вот про его результат, имевший мировоззренческие последствия, слышу впервые. - прим. Pussbigeyes).

Продолжение следует.

Link | Leave a comment | Поделиться

Comments {0}