?

Log in

No account? Create an account

Категории в математике (то, что вы всегда хотели знать, но боялись спросить)

« previous entry | next entry »
июл. 31, 2008 | 10:52 am

Когда в этом и в других журналах завязывались беседы о математическом формализме, математической строгости, математических моделях и прочих подобных вещах, само собой выходило, что в какой-то момент я в качестве аргумента произносил слова "категория" или "категорный подход". Реакция бывала двоякой: математики, как правило, соглашались, мол, да, это - резон; не-математики пропускали мимо ушей, скорее всего, из-за отсутствия знаний о предмете. При этом сам я никогда в теории категорий глубоко не разбирался, пользуясь некоторыми ее базовыми принципами и конструкциями чисто утилитарно (но об этом чуть дальше).

Тем бόльшим было удовольствие, которое я получил, прочитав статью Барри Мэйзура "Когда одна вещь равна другой вещи?" по ссылке от юзера avva. Основная прелесть текста Мэйзура в том, что он не просто вводит понятие категории с должной степенью формализма, а в краткой и ясной форме отслеживает геологические процессы, трансформировавшие ландшафт математической науки, так что блистающие вершины теории категорий естественным образом вырастают поверх обломков несбывшихся надежд, разбросанных там и сям тектоническим кризисом оснований математики.

Поскольку краткий пересказ содержания статьи принципиально едва ли возможен, рекомендую к непосредственному прочтению. Мне почему-то кажется, что даже не-математики в состоянии ее осилить. Не пугайтесь, если в какой-то момент нить рассуждений начнет ускользать: картинка в голове может возникнуть даже в результате реконструкции по той части текста, где автор обходится без формул.

Я же ограничусь некоторым крайне нестрогим описанием и замечаниями методологического характера, основанными на собственном опыте. Итак, чтобы получить категорию, нужно задать объекты этой категории и допустимые правила преобразований этих объектов – одного в другой, которые называют морфизмами. Еще нужно задать правило композиции (последовательного действия) морфизмов. Вот, собственно, и все. Так, например, если объекты – линейные пространства, а морфизмы – линейные отображения, то получится категория линейных (векторных) пространств.

Что же тут такого замечательного? Мэйзур пишет: В самом деле, в этом месте трудно еще сказать, играют ли категории в математической работе в большей степени описательную или, наоборот, инструктивную роль (descriptive vs. prescriptive). Они формируют возможный шаблон математической теории: теория должна иметь существительные и глаголы, т.е. объекты и морфизмы, и нужно еще иметь в явном виде понятие композиции для морфизмов; короче, теория должна быть упакована в категорию. Едва ли существуют некие разновидности математических объектов, которые не укладываются в этот удобный и зачастую проливающий свет шаблон. Добавлю от себя: если такая особь внезапно попала к вам в руки, то либо вы где-то ошиблись, либо чего-то всерьез не понимаете.

Дальше Мэйзур проделывает с предметом своего исследования все подобающие естествоиспытателю-математику ритуальные манипуляции: среди морфизмов отыскивает некие специальные морфизмы – изоморфизмы, а уже среди них выделяет уникальный – канонический изоморфизм, призванный сертифицировать эквивалентность объектов, взамен скомпрометировавшего себя заскорузлого понятия равенства. Затем наступает очередь объектов, а именно: особо выделяются объекты, которые, благодаря некому естественному свойству, получают имя начальных. Попутно оказывается, что если в данной категории начальный объект имеется в наличии, то он – единственный с точностью до канонического изоморфизма.

И тут с приличествующим случаю барабанным боем предъявляется определение (внимание, всем оставаться на местах!)  натуральных чисел в терминах теории категорий. Звучит оно лаконично: "Натуральные числа – это начальный объект в категории дискретных динамических систем". Последнюю фразу надо понимать не в житейском (а как еще определить дискретную динамическую систему, она же – итерированное отображение, она же– каскад, как не с помощью натуральных чисел?), а строго формально. Автор предъявляет категорию, названную им категорией Пеано (понятно, да?), не привлекая понятия натурального числа, и оказывается, что начальным объектом в этой категории (точнее, "одним из", мы же помним: "с точностью до канонического и т.д.") является множество натуральных чисел. Категория Пеано, на самом деле, – это просто другое название естественной категории дискретных динамических систем.

"А что же аксиоматика Пеано?" – спросите вы. Про нее не забыли. Отдельный параграф посвящен сравнению категорного подхода с аксиоматическим. Предлагается ответить на вопросы: 1) что высвечивает? 2) что оставляет в тени? 3) что затемняет каждый из этих подходов? На мой вкус (кажется, автор того же мнения), категории выигрывают по очкам в третьем раунде.

Пересказать дальнейшее я не готов: во-первых, я не специалист в этой области, а во-вторых, не уверен, что смогу поддерживать интерес немногочисленных дошедших хотя бы до этого места (дошедшие могут отметиться в комментах!) читателей на том же высоком уровне. Ключевые слова – функторы, представления, коммутативные диаграммы, эквивалентность категорий. Там, собственно, самый философский смак, но... Может, другой волонтер найдется.

В заключение, особо отмечу, что определение категории содержит оба слова "множество" и "класс" (no country for explaining the difference here, sorry) таким хитрым способом, что теория категорий остается справедливой, какую бы теорию множеств вы ни выбрали. Не удержусь привести заключающую цитату из Мэйзура-великолепного: "...Точка зрения категорий – приглушить свет там, где стандартные математические основания светят наиболее ярко. Вместо того, чтобы фокусироваться на вопросе о способах обоснования, и вместо того, чтобы в явном виде выбирать теорию множеств, дух категорий в том, чтобы обеспечить словарь, который держит эти вопросы на должной дистанции. Это словарь, который ничего не говорит о доказательствах  и работает при любом выборе теоретико-множественного языка, который фиксирует существенную типичную природу математической концепции, демонстрируя эту концепцию отдельно от способа обоснования и от субстрата вечно проблематичной теории множеств."

И немного от себя. Когда, работая с достаточно изощренными математическими объектами, я оказывался в очередном тупике, мой мудрый учитель первым делом советовал: "Проверь, в какой категории ты работаешь." Или: "При таком подходе мы не получаем категорию". И, в точности по Мэйзуру, зажигались лампочки, высвечивающие именно то, что должно было быть высвечено. С практической точки зрения, категорный подход – это примерно то же, что соображения размерности в физике.

Link | Leave a comment |

Comments {20}

Иванов-Петров Александр

(no subject)

from: ivanov_petrov
date: июл. 31, 2008 08:09 am (UTC)
Link

спасибо. мне трудно судить. многое ли я понял. на некотором качественном уровне - это вроде бы банально, то есть именно каким-то таким образом и приходилось работать очень давно. Но, конечно - только как образами и метафорами. ясно. что без особенной формализации. Конечно, надо полагать. что вся суть этой теории именно в формализации таких образом, что и делает ее математической теорией... потому что на словах-то это дело довольно тривиальное

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 08:13 am (UTC)
Link

Как-то в ответ на Ваш вопрос о том, является ли математика языком, я ответил утвердительно. Теория категорий - хороший пример в подтверждение моего ответа.

"Очень давно" - да, вероятно, но отрефлексировано это было только в середине прошлого века, и то - по сию пору открываются новые нюансы.

Reply | Parent | Thread

flying_bear

(no subject)

from: flying_bear
date: июл. 31, 2008 08:12 am (UTC)
Link

> скомпрометировавшего себя заскорузлого понятия равенства

Вот. Оно мне никогда не нравилось. Осталось разобраться со свободой и братством.

Если серьезно - спасибо. Прочту обязательно, когда за окном будут более плоские пейзажи. Сейчас, как понимаете, никак невозможно.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 08:17 am (UTC)
Link

Я что-то упустил, а Вы где сейчас?

Со свободой (и заодно с необходимостью) уже давно пытаются разобраться. К сожалению, не-математики. Ну, и результат плачевный. А с братством, вроде бы, генетики преуспели, доказали, что все люди - братья. Как ни парадоксально звучит.

Reply | Parent | Thread

flying_bear

(no subject)

from: flying_bear
date: июл. 31, 2008 08:36 am (UTC)
Link

В Италии.

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: июл. 31, 2008 10:58 am (UTC)
Link

Забавно: я хоть и занимаюсь алгеброй, и написал уже 100 страниц почти чистой абстрактной чепухи, испытываю меньше восторгов по поводу категорий. Ситуация, когда изоморфных объектов много, некоторый изоморфизмы - канонические, некоторые - нет, меня не очень радует.:)

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 11:07 am (UTC)
Link

А чего бы Вы хотели: чтоб все объекты были уникальны, а все изморфизмы - единственны? Ведь, эта множественность, наверное, что-то отражает в реальном (=реальном математическом) мире. Если нет, то, может быть, категория неудачно выбрана. У Вас категории - инструмент или объект?

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: июл. 31, 2008 11:22 am (UTC)
Link

Были инструментом; стал обобщать - стали объектом.:)

Неединственность изоморфизмов, безусловно, что-то отражает - но если занимаешься абстрактной чепухой, то трудно понять, что именно - а жить грустно.:)

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 11:27 am (UTC)
Link

Были инструментом; стал обобщать - стали объектом

Понимаю. Перфекционизм - опасная и заразная болезнь. Сам - хроник.

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: июл. 31, 2008 11:30 am (UTC)
Link

Ну, мой случай как раз вряд ли клинический.:)

Reply | Parent | Thread

Юрий

(no subject)

from: prof_yura
date: июл. 31, 2008 11:36 am (UTC)
Link

Барри Мэйзура

Обычно произносится как Мэзер.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 11:39 am (UTC)
Link

Спасибо. В журнале у avva юзер french_man сказал, что Мэйзур. Я и поверил.

Reply | Parent | Thread

Юрий

(no subject)

from: prof_yura
date: июл. 31, 2008 11:43 am (UTC)
Link

Думаю, что Бэрри отзывается на оба варианта :)

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: июл. 31, 2008 11:50 am (UTC)
Link

Отзывчивость - хорошее качество.

Reply | Parent | Thread

B M

(no subject)

from: aka_b_m
date: авг. 1, 2008 03:36 pm (UTC)
Link

Последняя фраза очень ...ммм revealing. Статью прочитаю обязательно - а то я в Википедии пробовал читать и заскучал.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 1, 2008 03:59 pm (UTC)
Link

Revealing - в хорошем смысле™? В стэнфордской энциклопедии поживее. А статья - лучше всего.

Reply | Parent | Thread

B M

(no subject)

from: aka_b_m
date: авг. 1, 2008 05:32 pm (UTC)
Link

В лучшем. Я просто не мог понять отношений ТК с математикой: это такая суперматематика, теория теорий, наука о математическом языке - всё звучало как-то параметасингулярно. А так сразу видна важность при соблюдении масштаба.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 1, 2008 05:39 pm (UTC)
Link

Вообще-то, это моя личная аналогия. В других местах не встречал. Интересно, что бы физики на это сказали.

Reply | Parent | Thread

(Удалённый комментарий)

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 11, 2008 01:18 pm (UTC)
Link

Ого! Кажется, у Вас серьезный интерес к этой теме. Почитаю с удовольствием.

Reply | Parent | Thread

(Удалённый комментарий)

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: авг. 11, 2008 01:29 pm (UTC)
Link

В этом смысле, мы в равном положении.

Reply | Parent | Thread