?

Log in

No account? Create an account

В поисках жанра - IV

« previous entry | next entry »
апр. 1, 2008 | 02:30 pm

Продолжение. Начало здесь, здесь и здесь.

Творец и злонамеренные сингулярности

Сам собой напрашивается вывод, что с очень тонким и деликатным объектом пытаются работать чрезвычайно грубым инструментом. Возможно ли найти инструмент более нежный?

Дифференциальная геометрия пространства вводится обычно с помощью локальных систем координат. Существует, однако, эквивалентный подход в терминах пучков функций на рассматриваемом пространстве. Этот прием работает и для пространства-времени в ОТО. Сам по себе, он не дает ничего нового, но допускает очень естественное обобщение. Говоря очень приблизительно, эти функции могут быть определены на пространствах не обязательно гладких, а наоборот, содержащих определенного рода сингулярности. Соответствующие пространства получили имя дифференциальных, или структурированных пространств.

Теперь можно попытаться реконструировать b-границу Шмидта в терминах структурированных пространств. Результат такой операции оказывается весьма обнадеживающим. "Слабо вырожденные" сингулярности могут быть полностью проанализированы с помощью нового метода. Например, так называемые конические сингулярности (моделирующие бесконечно длинную одномерную "космическую струну") могут рассматриваться как структурированные пространства и эффективно изучаться в рамках теории таких пространств.

В случаях сильного вырождения, таких как модели Фридмана и Шварцшильда, ситуация гораздо сложнее. Напомним, что теперь пространство-время моделируется с помощью семейства функций на нем, и, чтобы иметь полное описание пространства-времени, это семейство должно быть достаточно богатым (в противном случае, мы сможем установить только тривиальные факты). Для пространства-времени с сильно вырожденными сингулярностями определяющее его семейство содержит только постоянные функции, что, конечно, недостаточно для удовлетворительной модели. Постоянные функции, к примеру, не различают отдельные точки, поскольку значение постоянной функции одинаково в каждой из точек. Это объясняет, почему пространство-время для замкнутого мира Фридмана и решения Шварцшильда коллапсирует в единственную точку. Сингулярности, ведущие к такого рода патологиям, назвали злонамеренными.

Рассмотрим этот эффект чуть подробнее. Возьмем модель Фридмана. Пока мы работаем с его пространством-временем без учета двух сингулярностей (начальной и конечной), на нем можно определить достаточно богатое семейство функций, и все идет хорошо. Однако, при попытке "продолжить" эти функции на сингулярную границу, все функции, за исключением постоянных, исчезают, и все "схлопывается" в единственную точку. Проиллюстрируем эту ситуацию следующим наглядным примером. Для существ, живущих внутри мира Фридмана, все в порядке. Занимаясь космологией, они могут узнать о существовании начальной сингулярности в их прошлом и предсказать финальную сингулярность в их будущем. Никакая из этих сингулярностей не является для них достижимой, но они узнали об их существовании, пользуясь информацией внутри пространства-времени, в котором они живут. Если бы они непосредственно  "прикоснулись" к одной из сингулярностей (попытались бы продолжить до нее соответствующее семейство функций), то пространство-время немедленно бы стянулось в единственную точку. Предположим, что рассматриваемый мир был создан Творцом в начальной сингулярности. Чтобы создать мир, Демиург должен "дотянуться" до этой сингулярности (т.е. работать только с постоянными функциями), и поэтому для Творца начало мира одновременно является его концом. Теологи всегда утверждали, что Бог является вневременным, и что для Бога все происходит мгновенно и одномоментно.

Ясно, что подобные метафорические интерпретации хороши только для дидактических целей освещения некоторых аспектов модели. Наша история пока явно не окончена, нам нужны более совершенные инструменты для работы со злонамеренной природой сильных сингулярностей. На данном этапе стоит лишь отметить, что, хотя метод структурированных пространств позволяет нам догадаться о природе проблемы и об источнике сложностей, в которые вовлечена конструкция b-границы, он недостаточно силен для полного решения проблемы злонамеренных сингулярностей. 

Продолжение следует.

Link | Leave a comment |

Comments {23}

flying_bear

(no subject)

from: flying_bear
date: апр. 1, 2008 12:07 pm (UTC)
Link

Пожалуйста, продолжайте. Не терпится узнать, кто же все-таки отравил графа как математики выкрутились из этой ситуации.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 1, 2008 12:12 pm (UTC)
Link

Правда же, как детектив читается? Меня это и зацепило. Плюс, социально близкие математические конструкции.

До конца недели убийца будет найден и предан остракизму.

Reply | Parent | Thread

Иванов-Петров Александр

(no subject)

from: ivanov_petrov
date: апр. 1, 2008 02:54 pm (UTC)
Link

я бы предложил добавить типы границ. Тогда будет большое-пребольшое множество решений. в котором можно будет долго плавать. И. скажем. думать о критериях этих типов, искать доказательства. к какому же типу реально относятся "наши" сингулярности... и т.п.

Нет? не получилось сказать (убийца - тот, в светлом плаще?)

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 1, 2008 07:24 pm (UTC)
Link

Вы немного забегаете вперед. Пусть Хеллер всячески открещивается от примата интерпретации над моделью, но после укладки последнего кирпичика приходится-таки назвать кошку... "хоть кошкой назови ее, хоть кем". В крайнем случае, позвать Шредингера и по-гегелевски снять проблему номинализации.

Мне немного жалко вырезать философско-теологические пассажи, но я решил для себя: первым делом - математики, а теологи... теологи потом. ЕБЖ, естественно. В этом параграфе Творец был помянут по крайней нужде. Чем дальше в лес, тем толще интерпретаторы.

Но пока все идет в соответствии с генеральной линией партии. Дайте спокойно построить непротиворечивую модель, а там и Порфирий Петрович подоспеет.

Edited at 2008-04-01 19:44 (UTC)

Reply | Parent | Thread

Avrukinesque

(no subject)

from: avrukinesku
date: апр. 2, 2008 09:39 am (UTC)
Link

Так теологию цензура порубала?

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 09:44 am (UTC)
Link

Внутренний редактор постарался. Но план такой: закончить с математикой, посвятить отельный параграф общефилософским и методологическим аспектам, а на закуску можно и про Демиурга поговорить.

Как говорил покойный академик Минц, "главный недостаток диссертанта - это отсутствие диссертации".

Reply | Parent | Thread

flying_bear

(no subject)

from: flying_bear
date: апр. 2, 2008 02:48 pm (UTC)
Link

Что Вы! Как правило, главный недостаток диссертанта - это наличие диссертации!

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 02:55 pm (UTC)
Link

Согласен, академик смотрел на вещи несколько метафизически. Вы же зрите вглубь!

Reply | Parent | Thread

Юрий

(no subject)

from: prof_yura
date: апр. 1, 2008 04:04 pm (UTC)
Link

Соответствующие пространства получили имя дифференциальных, или структурированных пространств.

Окольцованные пространства?

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 1, 2008 07:43 pm (UTC)
Link

Конструкция похожа. Тот факт, что перечисление всех ростков гладких функций с определенными условиями согласования должен задавать гладкую структуру, мне кажется понятным. Хотя, я никогда не имел дела с таким подходом впрямую. Скорее знаю о нем, чем умею с ним работать. По-видимому, на топологическом уровне все то же самое. Но алгебраическая геометрия для меня - терра инкогнита.

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: апр. 1, 2008 08:22 pm (UTC)
Link

Удивляет, что отсутствие непостоянных функций связано с сингулярностями, а не с проективностью объекта.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 1, 2008 08:38 pm (UTC)
Link

А объект проективный? И в каком смысле проективность запрещает непостоянные функции?

Я не влезал в математику содержательно, но чисто интуитивно все кажется логичным: нагружение объекта патологиями ведет к тривиализации "хорошей" структуры на нем. Т.е. может случайно оказаться, что существует нетривиальная, пусть и экзотическая, структура, но в рассматриваемом случае этого не происходит.

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: апр. 1, 2008 10:09 pm (UTC)
Link

Любое многообразие (в алгебре не все многообразия гладкие:)) локально вкладывается в аффинное пространство. На аффинном пространстве функций много, большинство:) имеет непостоянное ограничение на подмногообразие. Проблемы с существованием нетривиальных функций в том, что их не удается продолжить с куска на все многообразие. В частности, если оно проективно (если я не в маразме:)).

Reply | Parent | Thread

Mikhail Bondarko

(no subject)

from: buddha239
date: апр. 1, 2008 10:12 pm (UTC)
Link

Конечно, не факт, что алгебраическая геометрия здесь адекватна. Кстати, в АГ сингулярности - не граница, а всего лишь подмногообразие меньшей размерности.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 07:36 am (UTC)
Link

В АГ я - профан. Но дух ее здесь явно дышит, хотя упор делается на гладкие структуры. Здесь сингулярность - не граница, а состояние. Но определяется оно через понятие сингулярной границы, которая, судя по всему, является подмногообразием.

Reply | Parent | Thread

chitatel2008

(no subject)

from: chitatel2008
date: апр. 1, 2008 11:07 pm (UTC)
Link

Случайно наткнулся на эту статью и с большим интересом прочитал. Хотя я и физик по образованию, нельзя сказать, что все понял - я работаю в хай-теке и мои интересы лежат в области несколько далекой от темы статьи. Но вопросы космологии меня интересовали всегда. Скажите, а рассматриваются ли в этой работе теория струн? В свое время я прочитал великолепную книгу Брайана Грина "Элегантная Вселенная". Теория струн неплохо расправляется с разными типами сингулярностей..

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 07:30 am (UTC)
Link

Единственная струна, которую удалось обнаружить, упоминается в этом параграфе. Про суперструны речи не было. По крайней мере, в явном виде. Теория струн, по слухам, неплохо расправляется со многими вещами. Проблема с ней в том, что однозначно струнных эффектов в природе пока, по-моему, не обнаружено. Т.е. как модель она непротиворечива, но в тех областях, где экспериментальное подтверждение возможно, существуют и другие модели - менее экзотические, а там, где эти модели уже не работают, нет достоверных экспериментов. Насколько я понимаю, серьезные физики считают теорию струн чистой математикой, а для физики - архитектурным излишеством. Могу и ошибаться.

Edited at 2008-04-02 07:37 (UTC)

Reply | Parent | Thread

chitatel2008

(no subject)

from: chitatel2008
date: апр. 2, 2008 04:28 pm (UTC)
Link

Я вас добавил к списку своих друзей. Живой журнал я начал совсем недавно и мне приятно, что я нашел столь интересного пользователя как вы.
действительно сейчас нет никаких достоверных экспериментов, подтверждающих теорию струн. Сейчас есть достаточно много технических преград для проведения подобных экспериментов.
Относительно чистой математики. Я с опаской вторгаюсь в область ваших профессиональных интересов, но вот, у Пенроуза в "Новый ум короля " я прочитал о множестве Мандельброта, которое не является человеческим изобретением, а существует само по себе. Так что такое чистая математика?

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 05:21 pm (UTC)
Link

Спасибо за вопрос. Я постараюсь на него ответить в следующих сериях, поскольку мне очень нравится то, что говорит Хеллер по этому поводу.

Мне приятно быть в Вашей френд-ленте. Кстати, посмотрев Ваш журнал, пришел к выводу, что Вы - настоящий профессионал в своем деле. Каждый четвертый пост касается reliability physics в явной или неявной форме. Похоже, вещи чувствуют поле эксперта и торопятся продемонстрировать свои points of failure. Наверное, с этим непросто жить. Или это было совпадение?

Reply | Parent | Thread

chitatel2008

(no subject)

from: chitatel2008
date: апр. 2, 2008 06:45 pm (UTC)
Link

Спасибо. После Вашего замечания просмотрел свой журнал и с изумлением обнаружил, что так и есть -каждый четвертый пост! надеюсь, что это все-таки совпадение, просто в последнее время навалилось слишком много работы. А так как моя reliability physics всегда последняя ( по порядку. но не важности), то все обещанные заказчиеку сроки обычно уже нарушены и поэтому результаты от меня требуются в лучшем случае сегодня, а обычно - позавчера...
Но определенное влияние моя профессия оказывает на меня же. Я давно обратил внимание, что даже планирование простейщих вещей у меня основывается на вероятностном подходе (Скорее всего завтра я пойду на работу). А что делать? Иногда получаешь оценку времени жизни какого-нибудь п/п прибора с confidence плюс-минус два порядка.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 07:13 pm (UTC)
Link

Хорошо, что Вы имеете дело только с неживой материей. Самым сильным впечатлением на военной кафедре в унт-те была лекция из тактического курса, на которой нам сообщили ожидаемое время жизни мотострелкового взвода в случае глобального конфликта. 26 минут, если я ничего не путаю. Это 1980-й год. Сейчас, наверное, существенно меньше.

А как заказчик реагирует на "confidence плюс-минус два порядка"? Кстати, интересно: расскажите у себя в журнале, как, вообще, вся эта система работает? Если это не ДСП, конечно. Про планирование быта в вероятностных терминах понравилось. Такая "вкусная" деталь.

Reply | Parent | Thread

chitatel2008

(no subject)

from: chitatel2008
date: апр. 2, 2008 09:07 pm (UTC)
Link

Что-то вроде того -26 минут. Я же примерно в тоже время в университете учился как и Вы (1976-1981). Нам на военной кафедре любили всякие страшилки рассказывать, но при этом успокаивали - вы, мол радиотехническая разведка и на передовой не будете, а значит гораздо дольше протянете.

Плюс-минус два порядка случается довольно редко и как правило в тех случаях, когда заказчик просит дать ему результаты быстро. Быстро в нашей области означает неточно. Обычно мои тесты длятся от 1-2 дней до нескольких месяцев. Оно и понятно: чем ближе условия теста к рабочим условиям ( написал и подумал как-то не так звучит, лучше use conditions!), тем точнее результат. А если результаты требуются быстро, то тесты выполняются при напряжениях (токах, температурах и т. д.) далеких от рабочей точки. Можно провести аналогию с рычагом: короткий конец - это область тестов, длинный - рабочая точка. Даже незначительная погрешность в результатах экспериментов превращается в гигантскую ошибку в предсказании времени жизни. При нормальной, без спешки работе, когда "тестовый" конец рычага значительно удлиняется, то неточность в предсказании не более полпорядка или меньше. А это уже нормально. Тем более, что часто вместо времени жизни используется какой-нибудь более практичный параметер, скажем максимально допустимое рабочее напряжение. Обычно Vmax,use~ln(lifetime). В этом случае доверительный интервал 10-20%.
Как-нибудь я постараюсь собраться с силами и действительно более подробно рассказать о том как все работает. ДСП тут никакого нет.

Reply | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 09:20 pm (UTC)
Link

И я 1976-1981. А мы были связисты - дальняя проводная связь, общевойсковики нас примерно так же успокаивали.

Про тесты понял, спасибо.

Reply | Parent | Thread