?

Log in

No account? Create an account

В поисках жанра - V

« previous entry | next entry »
апр. 2, 2008 | 12:26 pm

Продолжение. Начало - 1, 2, 3, 4

Бесточеченые пространства

К счастью, возможно еще одно обобщение геометрии. Начнем с
 
почти тривиального шага. Операция умножения функций обладает простым свойством: результат умножения не зависит от того, в каком порядке мы эти функции умножаем. Действительно, если определить операцию умножения на множестве вещественнозначных функций на пространстве X (обозначим ее "·") следующим образом (f·g)(x)=f(xg(x), то (f·g)(x)=(g·f)(x) для любого x из пространства X (поскольку произведение чисел не зависит от их порядка), а значит f·g=g·f. Это свойство умножения называют коммутативностью. Если в теории дифференциальных пространств мы откажемся от требования коммутативности, то мы получим новое обобщение геометрии - некоммутативную геометрию. Проблема в том, что произведение функций (в вышеуказанном смысле) всегда коммутативно, и, чтобы перейти к некоммутативной геометрии, мы должны вместо чисел рассматривать иные объекты (например, матрицы или операторы), умножение которых заведомо некоммутативно.

При этом, - замечает Хеллер, - отдельные точки пространства-времени перестают быть различимы, поскольку новые объекты носят существенно нелокальный характер. Иными словами, понятие точки или ее окрестности при таком подходе теряет смысл. (Не стану утверждать, что понял этот пассаж в полной мере. Скорее всего, здесь Хеллер упрощает из дидактических соображений и проглатывает некоторые важные моменты. Насколько я могу судить по другим источникам, смысл в том, что, в очередной раз усложняя объект, мы естественным образом переходим от численных координат к обобщенным координатам, которые не являются числами и не всегда коммутируют. При этом - по крайней мере так обстоит дело в весьма показательном примере для квантовой гравитации - обратный переход возможен и реализуется он переходом к сингулярному пределу. - прим. Pussbigeyes).

Можно считать удивительным, - говорит Хеллер, - что несмотря на столь "странное" свойство, на некоммутативных пространствах можно построить дифференциальную геометрию, хотя и в очень обобщенном смысле. У некоммутативной геометрии два источника. Первый - стандартная дифференциальная геометрия, которую мы и обобщаем. Как уже здесь отмечалось, стремление к обобщению всегда было сильнейшей движущей силой математического прогресса. Второй источник - не что иное, как квантовая механика. Этот факт может удивить аутсайдера, но каждому физику хорошо известно, что в этой науке наблюдаемые величины представляются математическими объектами, называемыми операторами в гильбертовом пространстве, которые перемножаются некоммутативным образом. На самом деле, знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга является лишь следствием такой некоммутативности.

Однако, реальные связи между некоммутативной геометрией и математическими структурами квантовой механики гораздо более глубоки. Любое некоммутативное пространство может быть описано с помощью операторов в гильбертовом пространстве. Можно даже подозревать, что все "странности" квантовой механики следует относить на счет структурного сходства квантовой механики с некоммутативной геометрией (которая по своей природе нелокальна). Чтобы правильно сформулировать математическую проблему, очень часто нужно определить пространство, в котором эта проблема должным образом раскрывается. Структура такого пространства не зависит от воли математика, а диктуется существом проблемы. Зачастую структура такого "пространства проблемы" является чрезвычайно изощренной - иногда даже патологической (с точки зрения стандартного геометрического подхода). Целью обобщения обычного (коммутативного) пространства на некоммутативный случай, как раз, и было нахождение инструмента для работы с такими патологическими объектами.

На самом деле, новая геометрия эффективна даже там, где стандартный геометрический метод безнадежно неприменим. Хорошим примером такого пространства, кстати, служит паркет Пенроуза.

Этот паркет - квазипериодический, он образован всего двумя элементами, и любая его конечная часть повторяется бесконечно много раз не только в нем самом, но и в любом другом паркете из бесконечного числа паркетов, образованных этими элементами. Поэтому, любые два паркета локально не различимы. А пространство всех таких паркетов некоммутативно.

Промежуточный итог: релятивистское пространство-время со злонамеренными сингулярностями, с геометрической точки зрения - крайне патологический объект. Поэтому, кажется естественным попробовать применить к его анализу некоммутативные методы.

Продолжение следует.
.

Link | Leave a comment |

Comments {20}

messala

(no subject)

from: messala
date: апр. 2, 2008 11:07 am (UTC)
Link

<<Вы, ведь, гуманитарий - да?>>

Где Ваша политкорректность? Я альтернативно одаренный математик.

Я читаю этот текст примерно как какой-нибудь Салический гимн -- ни слова не понятно, но гипнотизирует ощущение, что текст полон гностического смысла, проникаешься чувством приобщенности к Мирозданию, а еще гордость за Человечество, дух захватывает от Просторов, на которые вырывается Разум...

А у нас все скучно -- там перфектная аспирация, сям нисходящая метафора...

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

"В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 11:39 am (UTC)
Link

Где Ваша политкорректность?

Моя жизнь в ЖЖ началась с отвоевывания минимально разумного плацдарма http://pussbigeyes.livejournal.com/14983.html И у кого? У физиков! Да тут математика - название неприличной болезни. Мы и всем наукам методолгию попортили, и формальный метод не так и не туда внедрили, и... Вплоть до мочащегося к стене Фомы Аквинского. А Вы говорите...

перфектная аспирация

Приходит в голову: His aspiration to discover the roots of the Universe was pretty perfect. Так работает описанный Вами эффект салического гимна в противоположном направлении.

Reply | Parent | Thread

flying_bear

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: flying_bear
date: апр. 2, 2008 03:49 pm (UTC)
Link

Не скромничайте и не принижайте Ваши заслуги. Не у каких-то абстрактных, безответных и тщедушных, физиков, привыкших к тому, что ваш брат-математик ноги о них вытирает, а у меня. И Вы с честью справились! Помню, как раз тот Ваш текст прочла жена и сказала: По-моему, тебя умыли.

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 05:00 pm (UTC)
Link

Я горжусь этим постом без ложной скромности. Как и тем фактом, что мы с Вами пришли к полному взаимопониманию на этой платформе.

Но кое-кто (не будем показывать пальцем) из авторитетнейших (и заслуженно) ЖЖ-юзеров не упускает возможности выразить скепсис в отношении роли, границ применимости и влияния математики на другие науки. При том, что доводы этого уважаемого юзера порою встречают живой отклик даже в душе сухарей-математиков, но честь мундира - Вы понимаете?... *Уходит, напевая: "Значит снова нам идти в незримый бой / Так назначено судьбой для нас с тобой - / Служба дни и ночи"*

Reply | Parent | Thread

messala

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: messala
date: апр. 2, 2008 05:26 pm (UTC)
Link

<<Ваш текст прочла жена и сказала: По-моему, тебя умыли>>

Завидую белой завистью. Ну, серой...

Reply | Parent | Thread

flying_bear

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: flying_bear
date: апр. 2, 2008 05:54 pm (UTC)
Link

Кому?

Reply | Parent | Thread

messala

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: messala
date: апр. 2, 2008 06:32 pm (UTC)
Link

Хозяину журнала. А Вы из своего чего ушли и не принимаете участие в римейке Доре?

Reply | Parent | Thread

flying_bear

Re: "В сем христианейшем из блогов математики - жиды..."

from: flying_bear
date: апр. 2, 2008 07:32 pm (UTC)
Link

Я инициировал процесс, а дальше - сами, господа... Сами.

Reply | Parent | Thread