?

Log in

No account? Create an account

В поисках жанра - V

« previous entry | next entry »
апр. 2, 2008 | 12:26 pm

Продолжение. Начало - 1, 2, 3, 4

Бесточеченые пространства

К счастью, возможно еще одно обобщение геометрии. Начнем с
 
почти тривиального шага. Операция умножения функций обладает простым свойством: результат умножения не зависит от того, в каком порядке мы эти функции умножаем. Действительно, если определить операцию умножения на множестве вещественнозначных функций на пространстве X (обозначим ее "·") следующим образом (f·g)(x)=f(xg(x), то (f·g)(x)=(g·f)(x) для любого x из пространства X (поскольку произведение чисел не зависит от их порядка), а значит f·g=g·f. Это свойство умножения называют коммутативностью. Если в теории дифференциальных пространств мы откажемся от требования коммутативности, то мы получим новое обобщение геометрии - некоммутативную геометрию. Проблема в том, что произведение функций (в вышеуказанном смысле) всегда коммутативно, и, чтобы перейти к некоммутативной геометрии, мы должны вместо чисел рассматривать иные объекты (например, матрицы или операторы), умножение которых заведомо некоммутативно.

При этом, - замечает Хеллер, - отдельные точки пространства-времени перестают быть различимы, поскольку новые объекты носят существенно нелокальный характер. Иными словами, понятие точки или ее окрестности при таком подходе теряет смысл. (Не стану утверждать, что понял этот пассаж в полной мере. Скорее всего, здесь Хеллер упрощает из дидактических соображений и проглатывает некоторые важные моменты. Насколько я могу судить по другим источникам, смысл в том, что, в очередной раз усложняя объект, мы естественным образом переходим от численных координат к обобщенным координатам, которые не являются числами и не всегда коммутируют. При этом - по крайней мере так обстоит дело в весьма показательном примере для квантовой гравитации - обратный переход возможен и реализуется он переходом к сингулярному пределу. - прим. Pussbigeyes).

Можно считать удивительным, - говорит Хеллер, - что несмотря на столь "странное" свойство, на некоммутативных пространствах можно построить дифференциальную геометрию, хотя и в очень обобщенном смысле. У некоммутативной геометрии два источника. Первый - стандартная дифференциальная геометрия, которую мы и обобщаем. Как уже здесь отмечалось, стремление к обобщению всегда было сильнейшей движущей силой математического прогресса. Второй источник - не что иное, как квантовая механика. Этот факт может удивить аутсайдера, но каждому физику хорошо известно, что в этой науке наблюдаемые величины представляются математическими объектами, называемыми операторами в гильбертовом пространстве, которые перемножаются некоммутативным образом. На самом деле, знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга является лишь следствием такой некоммутативности.

Однако, реальные связи между некоммутативной геометрией и математическими структурами квантовой механики гораздо более глубоки. Любое некоммутативное пространство может быть описано с помощью операторов в гильбертовом пространстве. Можно даже подозревать, что все "странности" квантовой механики следует относить на счет структурного сходства квантовой механики с некоммутативной геометрией (которая по своей природе нелокальна). Чтобы правильно сформулировать математическую проблему, очень часто нужно определить пространство, в котором эта проблема должным образом раскрывается. Структура такого пространства не зависит от воли математика, а диктуется существом проблемы. Зачастую структура такого "пространства проблемы" является чрезвычайно изощренной - иногда даже патологической (с точки зрения стандартного геометрического подхода). Целью обобщения обычного (коммутативного) пространства на некоммутативный случай, как раз, и было нахождение инструмента для работы с такими патологическими объектами.

На самом деле, новая геометрия эффективна даже там, где стандартный геометрический метод безнадежно неприменим. Хорошим примером такого пространства, кстати, служит паркет Пенроуза.

Этот паркет - квазипериодический, он образован всего двумя элементами, и любая его конечная часть повторяется бесконечно много раз не только в нем самом, но и в любом другом паркете из бесконечного числа паркетов, образованных этими элементами. Поэтому, любые два паркета локально не различимы. А пространство всех таких паркетов некоммутативно.

Промежуточный итог: релятивистское пространство-время со злонамеренными сингулярностями, с геометрической точки зрения - крайне патологический объект. Поэтому, кажется естественным попробовать применить к его анализу некоммутативные методы.

Продолжение следует.
.

Link | Leave a comment |

Comments {20}

homo_civilis

(no subject)

from: homo_civilis
date: апр. 2, 2008 11:13 am (UTC)
Link

Мне кажется, что гуманитариям это понять проще.:-)
Я, например, сугубый технарь и даже математику изучал. Правда очень давно и не слишком усердно (примерно до семью восемь:-), но какие-то зачатки одолел.
Так вот у меня вопрос: вы ТОЧНО уверены, что все это имеет смысл, а не есть очень тонкая издевка специалиста над дилетантами?

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 11:41 am (UTC)
Link

Порукой тому 1.8 млн.долларов. Именно таков размер Темплтоновской премии.

Reply | Parent | Thread

homo_civilis

(no subject)

from: homo_civilis
date: апр. 2, 2008 12:41 pm (UTC)
Link

О такой премии не слышал, но аргумент плохой.
Насколько я помню лауреатами не менее престижной Нобелевской премии были
Анвар Садат и Менахем Бегин. За вечный мир на Ближнем Востоке.
Правда, в последующие тридцать лет военные дествия там так и не прекратились, но это уже мелочи, не правда ли?
А кроме того, лауреатами той же премии были такие столпы литературы, как, например, Фолкнер, Голсуорси и Уинстон Леонард Спенсер Черчилль.
Вы читали Черчилля? Я - пробовал.:-)

Reply | Parent | Thread

pussbigeyes

(no subject)

from: pussbigeyes
date: апр. 2, 2008 01:12 pm (UTC)
Link

О премии можно почитать по ссылке в первой части. Фолкнер и Голсуорси свои нобелевки заслужили честно. Как, впрочем, и лауреаты по естественнонаучным дисциплинам. Там можно спорить о достоинствах и недостатках, но верность результатов никто сомнению не подвергает. Так, впрочем, со всеми премиями по физике-химии-математике.

Вообще-то, про премию и ее размер я ответил в шутку. Но Хеллер - серьезный ученый, судя по публикациям. Тем более, что до его собственных результатов мы пока не добрались.

Edited at 2008-04-02 13:13 (UTC)

Reply | Parent | Thread

homo_civilis

(no subject)

from: homo_civilis
date: апр. 2, 2008 01:55 pm (UTC)
Link

Прошу пардону за нечеткость формулировки.
Голсуорси я не очень люблю, а Фолкнер в свое время был моим любимым писателем, я перечитал все, что переводили.
И в их литературном величии я нисколько не сомневаюсь :-)

Reply | Parent | Thread